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La pratique

L'espérance d'un système, et pourquoi le taux de réussite ne dit rien

C'est le seul calcul qui réunit le taux de réussite et la taille des gains. Pris séparément, ces deux chiffres n'informent de rien, et pourtant ce sont les seuls que la plupart des traders regardent.

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Qu'est-ce que l'espérance

L'espérance d'un système est le gain ou la perte moyen par trade, calculé sur un grand nombre de trades. Elle s'écrit avec deux termes qui s'opposent :

(taux de réussite × gain moyen d'un trade gagnant) − (taux d'échec × perte moyenne d'un trade perdant)

Le résultat est un montant par trade. S'il est positif, chaque trade rapporte en moyenne ; s'il est négatif, chaque trade coûte. Il n'existe pas de troisième cas, et aucune qualité d'exécution ne transforme un système d'espérance négative en système viable : elle en ralentit seulement l'effet.

Pourquoi le taux de réussite seul ne dit rien

Deux exemples suffisent à le montrer, et ils sont construits pour s'annuler.

Un système qui gagne huit fois sur dix, avec des gains de 1 et des pertes de 5, produit une espérance de 0,8 × 1 − 0,2 × 5, c'est-à-direzéro avant frais. Un taux de réussite très élevé, et rien à la fin.

Un système qui gagne trois fois sur dix, avec des gains de 3 et des pertes de 1, produit 0,3 × 3 − 0,7 × 1, c'est-à-dire plus 0,2 par trade. Un taux de réussite qui paraît médiocre, et une espérance positive.

Ces nombres sont des illustrations arithmétiques, pas des résultats observés ni attendus. Ce qu'ils montrent est indiscutable : annoncer un taux de réussite sans annoncer le rapport entre gain moyen et perte moyenne ne communique aucune information. C'est pourtant la statistique la plus mise en avant partout.

La conséquence psychologique, et elle est lourde

Un système à faible taux de réussite mais espérance positive perd la majorité de ses trades. C'est arithmétiquement banal et psychologiquement très difficile à tenir : il faut accepter une longue suite d'échecs individuels pour un résultat d'ensemble favorable.

C'est exactement le terrain du biais de disposition, qui pousse à couper les gains, donc à réduire le gain moyen, donc à détruire le seul terme qui rendait le système viable. Le mécanisme n'est pas une faiblesse de caractère : il est décrit et mesuré.

Comment on l'applique

La calculer net de frais, ou ne pas la calculer

C'est l'omission la plus fréquente, et elle inverse souvent la conclusion. Le coût d'un aller-retour se soustrait de chaque trade, gagnant comme perdant. Il faut donc le retrancher du gain moyen et l'ajouter à la perte moyenne avant tout calcul.

Dans le second exemple ci-dessus, une espérance de 0,2 par trade disparaît intégralement si le coût par aller-retour vaut 0,2. Le système n'est pas « légèrement moins bon » : il devient nul. La méthode de calcul de ce coût est détaillée dans l'article sur les frais, et c'est la raison pour laquelle il mérite d'être connu avant toute chose.

Mesurer en R plutôt qu'en euros

Une difficulté pratique se pose dès qu'on change de taille de position : les euros ne sont plus comparables d'un trade à l'autre. La solution habituelle consiste à exprimer chaque résultat en multiples du risque initial, souvent noté R.

Un trade dont le stop valait 200 euros et qui rapporte 400 euros fait plus 2 R. Un trade perdant qui atteint son stop fait moins 1 R. L'espérance devient alors un nombre de R par trade, indépendant de la taille, ce qui rend comparables des trades pris à des moments et dans des tailles différents. Le calcul de la taille elle-même relève del'article sur le money management.

Ce qu'une espérance positive ne garantit pas

Elle ne garantit pas la survie, et c'est la limite la plus importante de cette page.

Une espérance positive décrit une moyenne sur un grand nombre de trades. Elle ne dit rien de l'ordre dans lequel les gains et les pertes arrivent. Une série de pertes suffisamment longue peut vider un compte avant que la moyenne n'ait le temps de se manifester, et de telles séries sont statistiquement banales, comme le montrel'article correspondant.

Autrement dit, l'espérance décide de la direction, la taille de position décide de la survie. Les deux sont nécessaires et aucune ne remplace l'autre. Sur un compte de prop firm, la contrainte est encore plus serrée, parce qu'un plancher de perte peut mettre fin au compte bien avant que la série ne s'achève :l'article sur le drawdown maximal décrit ce mécanisme.

Ce qu'on en note dans son journal

Trois colonnes suffisent, et elles se remplissent en dix secondes par trade : le risque initial en euros, le résultat en euros, et le rapport des deux, qui est le résultat en R. Le reste se calcule à partir de là.

Attention toutefois à ne pas conclure trop tôt. Une espérance calculée sur quinze trades ne veut rien dire, et la question du nombre d'observations nécessaires est traitée à part dansl'article qui lui est consacré. Cette page dit comment calculer ; celle-là dit à partir de quand le résultat mérite d'être cru.

Points positifs et points négatifs

Ce que ce calcul a pour lui

  • Il réunit les deux seuls chiffres qui comptent, là où chacun pris isolément n'informe de rien.
  • Il est arithmétique. Rien à croire, rien à interpréter : la formule se vérifie avec un tableur.
  • Il rend les systèmes comparables une fois exprimé en R, même quand les tailles de position diffèrent.
  • Il tranche une question autrement insoluble : faut-il viser plus de réussites ou de plus gros gains ? La formule répond selon le cas.

Ce qu'on lui reproche à raison

  • C'est une moyenne, donc muette sur l'ordre. Elle ne prévient pas d'une série qui viderait le compte avant que la moyenne n'agisse.
  • Elle est fragile aux valeurs extrêmes. Un seul très gros gain peut à lui seul rendre une espérance positive, et il ne se reproduira pas.
  • Elle suppose la stabilité du système et du marché, ce qui n'est pas acquis : une espérance mesurée dans un régime peut disparaître dans un autre.
  • Elle est presque toujours calculée brut, donc surestimée, faute de retrancher les coûts.
  • Nous ne publions aucune statistique. Les nombres de cet article sont des illustrations arithmétiques ; nous n'avançons ni taux de réussite, ni espérance, ni rendement d'aucune sorte.

En un paragraphe

L'espérance est le gain moyen par trade, et elle réunit le taux de réussite et la taille relative des gains, deux chiffres qui, séparés, n'informent de rien. Elle doit être calculée nette de frais, faute de quoi elle est systématiquement surestimée, et s'exprime commodément en multiples du risque initial. Positive, elle donne la direction ; elle ne dit rien de l'ordre des trades, et c'est le dimensionnement, non elle, qui décide de la survie.

Pour aller plus loin

Sources

  • La formule de l'espérance est une définition arithmétique, celle de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire à deux issues. Elle ne dépend d'aucune source : les deux exemples de l'article se vérifient à la main.
  • Le caractère statistiquement banal des longues séries de pertes est établi et sourcé dans l'article correspondant ; le biais qui pousse à couper les gains, dansl'article sur le biais de disposition. Ils ne sont pas redémontrés ici.
  • ⚠️ Les nombres de cet article sont des illustrations. Ils sont choisis pour faire apparaître le mécanisme et ne correspondent à aucun résultat mesuré, ni chez nos élèves ni ailleurs.

Le trading comporte un risque de perte en capital. Ce contenu est pédagogique et ne constitue ni un conseil en investissement, ni une recommandation personnalisée. Les performances passées ne préjugent pas des performances futures. Trader 360 n'est pas un service de signaux et ne promet aucun résultat.Une question sur cet article ?